Методы решения

Квадратные уравнения

Общий вид: $a x^2 + b x + c = 0$, где $a \ne 0$.

Дискриминант

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac.$

Формула корней

Корни уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

• Если $D > 0$ — два различных вещественных корня.
• Если $D = 0$ — один вещественный корень кратности 2.
• Если $D < 0$ — два комплексно-сопряжённых корня.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения $x^2 + p x + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q.$

Вершина параболы

Координаты вершины: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}.$

Дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка $n$: $F(x,\, y,\, y',\, y'',\, \ldots,\, y^{(n)}) = 0.$

Типы первого порядка

• С разделяющимися переменными: $\dfrac{dy}{dx} = f(x)\,g(y).$
• Линейное: $y' + p(x) y = q(x).$
• Однородное: $y' = f(y/x).$
• Уравнение Бернулли: $y' + p(x) y = q(x) y^n.$

Линейные с постоянными коэффициентами

Для $y'' + p y' + q y = 0$ строится характеристическое уравнение $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$. По его корням определяется общее решение:

• $\lambda_1 \ne \lambda_2$ (вещественные): $y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}.$
• $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$: $y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}.$
• $\lambda = \alpha \pm i\beta$: $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x).$

Численные методы

Если аналитическое решение не находится или есть начальные условия, приложение использует метод Рунге–Кутты (scipy.solve_ivp, по умолчанию RK45) для построения численного решения.